בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1 – גדילה: תוכים ירוקים וכחולים3 יחידות 371 · שיעור 4

בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1

בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1 – גדילה: תוכים ירוקים וכחולים

פרק 1 – גדילה ודעיכה

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – בתחילת 2010

3סעיף א (2) – בתחילת 2013

4סעיף ב – מתי היו 29,387 תוכים

5סעיף ג (1) – אחוז הגדילה של התוכים הכחולים

6סעיף ג (2) – השלמת הטבלה

📄 נוסח השאלה

באי טרופי מסוים מספר התוכים הירוקים גדל בכל שנה ב־8%.

לפניכם גרף המתאר את מספר התוכים הירוקים באי לפי השנה, מתחילת שנת 2010.

א. (1) כמה תוכים ירוקים היו באי בתחילת שנת 2010?

(2) כמה תוכים ירוקים היו באי בתחילת שנת 2013?

ב. בתחילת איזו שנה היו 29,387 תוכים ירוקים באי?

גרף מספר התוכים הירוקים לפי השנה משאלה 1

📄 נוסח השאלה · המשך

באי יש גם תוכים כחולים. מספר התוכים הכחולים באי גדל בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת 2010 היה מספר התוכים הכחולים באי שווה למספר התוכים הירוקים באי.

בטבלה שלפניכם מוצג מספר התוכים הכחולים בתחילת שנת 2012.

ג. (1) מצאו בכמה אחוזים גדל מספר התוכים הכחולים באי בכל שנה.

(2) השלימו את הערכים החסרים בטבלה.

סעיף א (1) – בתחילת 2010

שנת 2010 היא תחילת הגרף (t = 0). בגרף, בשנת 2010 רשום על הציר האנכי 20,000.

✅ פתרון סופי: 20,000 תוכים

סעיף א (2) – בתחילת 2013

גדילה ב־8% בכל שנה:

q = 1 + p100

📐 גדילה ודעיכה

נציב p = 8:

q = 1 + 8100 = 1.08

t = 2013 − 2010 = 3

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t
גדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t
גדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100

סעיף א (2) – בתחילת 2013 · המשך

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

נציב M₀ = 20,000 , q = 1.08 , t = 3:

M₃ = 20,000 · 1.08³

1.08³ = 1.259712

M₃ = 20,000 · 1.259712

M₃ = 25,194.24

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t
גדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100

סעיף א (2) – בתחילת 2013 · המשך

M₃ = 25,194.24

✅ פתרון סופי: כ־25,194 תוכים

סעיף ב – מתי היו 29,387 תוכים

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

נציב M_t = 29,387 , M₀ = 20,000 , q = 1.08:

29,387 = 20,000 · 1.08^t

נחלק את שני האגפים ב־20,000:

1.08^t = 29,38720,000

1.08^t = 1.46935

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t
גדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100

סעיף ב – מתי היו 29,387 תוכים · המשך

1.08^t = 1.46935

נחשב חזקות של 1.08 (את 1.08³ כבר חישבנו):

t	3	4	5
1.08^t	1.25971	1.36049	1.46933

t = 5

בדיקה:

M_t = 20,000 · 1.08^t

סעיף ב – מתי היו 29,387 תוכים · המשך

M_t = 20,000 · 1.08^t

נציב t = 5:

M₅ = 20,000 · 1.08⁵

M₅ = 20,000 · 1.46933 ≈ 29,387 ✓

5 שנים אחרי תחילת 2010:

2010 + 5 = 2015

סעיף ב – מתי היו 29,387 תוכים · המשך

2010 + 5 = 2015

✅ פתרון סופי: בתחילת שנת 2015

סעיף ג (1) – אחוז הגדילה של התוכים הכחולים

בתחילת 2010 היו 20,000 תוכים כחולים (כמו הירוקים). מתחילת 2010 עד תחילת 2012 עברו t = 2 שנים.

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

נציב M_t = 21,632 , M₀ = 20,000 , t = 2:

21,632 = 20,000 · q²

q² = 21,63220,000

q² = 1.0816

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t
גדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100

סעיף ג (1) – אחוז הגדילה של התוכים הכחולים · המשך

q² = 1.0816

q = √1.0816 = 1.04

נמצא את האחוז:

📐 גדילה ודעיכה

q = 1 + p100

נציב q = 1.04:

1.04 = 1 + p100

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t
גדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100

סעיף ג (1) – אחוז הגדילה של התוכים הכחולים · המשך

1.04 = 1 + p100

p100 = 0.04

p = 4

✅ פתרון סופי: גדל ב־4% בכל שנה

סעיף ג (2) – השלמת הטבלה

2010: מספר התוכים הכחולים שווה למספר הירוקים – 20,000.

2011 – שנה אחת אחרי 2010:

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

נציב M₀ = 20,000 , q = 1.04 , t = 1:

M₁ = 20,000 · 1.04¹ = 20,800

2013 – שנה אחת אחרי 2012:

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t
גדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100

סעיף ג (2) – השלמת הטבלה · המשך

2013 – שנה אחת אחרי 2012:

M_t = M₀ · q^t

נציב M₀ = 21,632 , q = 1.04 , t = 1:

M₁ = 21,632 · 1.04¹ = 22,497.28

השנה	2010	2011	2012	2013
מספר התוכים הכחולים	20,000	20,800	21,632	22,497

✅ פתרון סופי: 2010 – 20,000 , 2011 – 20,800 , 2013 – כ־22,497

📌 סיכום התשובות

א (1)

20,000

א (2)

כ־25,194

סעיף ב

בתחילת 2015

ג (1)

ג (2)

20,000 , 20,800 , 22,497

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא